Notatitieconventies
-------------------

Algemeen:
1. Omsluit een operator door spaties, uitzonderingen:
  a. Het is meestal leesbaarder om de * en / operator niet door spaties omsluiten.
  b. ! is de unaire not operator. Hij kan werken op variabelen (bijv. !A) en andere operators (bijv. !=, !elem, !&).
  c. De ? operator kan achter een ander vergelijkings- of beweringsoperator gzet worden en maakt hem vragend (bijv. a <? b).
  d. De def operator kan achter een ander vergelijkings- of beweringsoperator gezet worden en maakt hem "per definitie" (bijv. a =def b).
  e. Een unaire operator van 1 teken staat zonder spatie direct voor of na zijn operand (bijv. not A: !A).
2. A_b =def A met subscript b (meestal index b).
3. A^b =def A met superscript b (meestal tot de macht b).
4. Als voor een operator geen goed ascii bestaat wordt de Engelse naam van de operator gebruikt.


Verzamelingenoperatoren:
1. A & B =def A intersect B =def A intersection B
2. A + B =def A union B
3. A - B =def A \ B
4. A' =def complement A =def U - A
5. A*B =def Cartesian product of A and B
6. A subset B
7. A superset B  <==>def B subset A
8. a elem A =def a element A =def
9. A mele a <==>def a elem A

Andere veel voorkomende operatoren:
1. exists
2. forall


Afhankelijke kansrekening
-------------------------

Stel je hebt een symmetrische kansruimte U met A subset U en B subset U.
Dan P(A) = n(A)/n(U) en P(B) = n(B)/n(U) ...(1)
Stelling: P(A|B) = P(A & B)/P(B) ...(2)
Bewijs:
P(A|B) = n(A & B)/n(B) = (n(A & B)/n(U))*(n(U)/n(B)) = P(A & B)/P(B) ...(3)

Wat nu als U asymmetrisch is?
+ (3) blijft geldig als A & B = {}, want dan P(A|B) = 0 en P(A & B) = 0.
+ (3) blijft geldig als B subset A, want dan P(A|B) = 1 en P(A & B) = P(B).
+ In feite is (2) een hernormering: Bij het 2e experiment A neem je B in plaats van 
  U als uitkomstenruimte. Zo beschouwd is (2) eigenlijk intuitief meteen duidelijk.
Daarom wordt (2) verheven tot definitie:
P(A|B) =def P(A & B)/P(B) ...(4)

Als A onafhankelijk is van B geldt P(A|B) = P(A) ==> P(A)*P(B) = P(A & B) ...(5)
Als A afhankelijk is van B geldt meestal P(A|B) != P(A), of beter geformuleerd:
P(A|B) != P(A) ==> A afhankelijk B ...(6)


Voorbeeld 1.
A = alle honden die meer dan 30kg wegen.
B = alle honden van ras X
U = alle honden op Aarde.

Het is duidelijk dat A afhankelijk is van B, want sommige rassen zijn groter dan andere.
Dus: P(A|herder) > P(A), P(A|chihuahua) = 0 < P(A), etc.
Meer verduidelijkt: Stel je weet alleen dat Piet een hond heeft. Dan weet je alleen P(A).
Als je ook weet van welk ras de hond is weet je P(A|B).


Voorbeeld2
A = alle dagen waarop het minstens 1x regent.
B = alle dagen waarvoor minsten 1x regen is voorspeld.
U = alle dagen.

De vraag is natuurlijk: P(A|B) >? P(A).
Met behulp van een steekproef (bijvoorbeeld turf van 1000 dagen de voorspelling en
of het daadwerkelijk regent) kun je P(A) (= n(A)/1000), P(B), P(A|B) en P(A & B) direct meten.

Je kan ook meten:
C = alle dagen met regen en idem voor de dag ervoor.
Interessante vragen zijn nu: P(C) <? P(A|B) en P(C) >? P(A).


Voorbeeld 3
A = 1e dobbelsteenworp geeft 1.
B = 2e dobbelsteenworp geeft 1.
U is nu wat moeilijker te bepalen, want A en B moeten daarvan een subset zijn, 
maar A en B zijn ogenschijnlijk heel verschillende experimenten. Dat is,
zijn deelverzamelingen van 2 verschillende uitkomstenruimtes U1 en U2, met:
U1 = alle mogelijke uitkomsten worp 1.
U2 = alle mogelijke uitkomsten worp 2.

Oplossing: neem het Cartesisch product van beide deelverzamelingen:
U = U1*U2 = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)}
Neem vervolgens:
A = {(1,1), ..., (1,6)} = {(1, x) | 1 <= x <= 6}.
B = {(1,1), ..., (6,1)}.
De rest is triviaal.

NB. Als het een eerlijke dobelsteen betreft is U symmetrisch. Als het valse
    dobbelsteen is dan is U asymmetrisch.